Ο Αντώνης Κόνιαρης γεννήθηκε στα Χανιά στις 30 Σεπτεμβρίου 1997 και έκανε τα πρώτα του μπασκετικά βήματα στον Α.Ο. Ακρωτηρίου. Το 2011, σε ηλικία μόλις 14 ετών, μεταπήδησε στα τμήματα υποδομής του ΠΑΟΚ, αρχίζοντας ένα ιδιαίτερο δέσιμο με τον σύλλογο της Θεσσαλονίκης.

Με την παιδική ομάδα του ΠΑΟΚ πανηγύρισε την κατάκτηση του Πανελληνίου πρωταθλήματος το 2014, ενώ είχε ήδη προλάβει να γράψει ιστορία κάνοντας το ντεμπούτο του στην Α1 στις 12 Οκτωβρίου 2013. Σε ηλικία 16 ετών και 12 ημερών αγωνίστηκε για 31 δευτερόλεπτα στην αναμέτρηση ΠΑΟΚ – Κολοσσός Ρόδου (88-81), στην πρεμιέρα της σεζόν 2013-14.

Από το 2014 έως το 2016 φόρεσε τη φανέλα του Παναθηναϊκού, πριν επιστρέψει στον ΠΑΟΚ, όπου παρέμεινε για μία τριετία (2016-19), αποτελώντας βασικό κομμάτι της ομάδας παρά το νεαρό της ηλικίας του. Στις δύο θητείες του με τον Δικέφαλο κατέγραψε συνολικά 146 συμμετοχές και 655 πόντους, αγωνιζόμενος σε όλες τις διοργανώσεις εντός και εκτός συνόρων, ενώ έδωσε το «παρών» και στον τελικό Κυπέλλου Ελλάδας του 2019.

Μετά την αποχώρησή του από τον ΠΑΟΚ συνέχισε την καριέρα του στον Ολυμπιακό για τη διετία 2019-21. Στη συνέχεια πέρασε από τον Ιωνικό και την ισπανική Obradoiro μέσα στη σεζόν 2020-21, ενώ ακολούθησαν δύο χρόνια παρουσίας στην ΑΕΚ (2021-23). Τη σεζόν 2023-24 αγωνίστηκε στον Προμηθέα Πάτρας, ενώ την περσινή χρονιά φόρεσε τη φανέλα του Λαυρίου, όπου σε 24 παιχνίδια είχε κατά μέσο όρο 8,3 πόντους, 2,2 ριμπάουντ και 4,1 ασίστ.

Ο Κόνιαρης έχει περάσει από όλες τις μικρές Εθνικές ομάδες της Ελλάδας, με σημαντικότερη διάκριση την κατάκτηση του χρυσού μεταλλίου στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Νέων Ανδρών το 2017. Επίσης, είχε συμβάλει στην πορεία της Εθνικής Παίδων προς το ασημένιο μετάλλιο στο Ευρωμπάσκετ του 2013.

Στην καριέρα του έχει κατακτήσει δύο Κύπελλα Ελλάδας, το 2015 και το 2016, ενώ αναδείχθηκε κορυφαίος νέος παίκτης της Basket League δύο συνεχόμενες χρονιές, το 2017 και το 2018. Το 2018 ξεχώρισε και στο All Star Game της Basket League, κατακτώντας την πρώτη θέση στον διαγωνισμό τριπόντων.